Fraktale

Newton-Fraktale

Das Newton-Verfahren ist ein Iterationsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer Funktion. Wendet man es auf komplexe Funktionen der Form f(z) = zⁿ - 1 an, dann kann man die Tatsache ausnutzen, dass alle Lösungen der Gleichung zⁿ - 1 = 0 komplexe Zahlen sind, die auf dem Einheitskreis um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene liegen. Die Lösungen (Attraktoren) der Gleichung bilden ein regelmäßiges n-Eck.

Wie bei der Berechnung der Mandelbrot-Menge wird der gesamte Bildschirm als Gaußsche Zahlenebene und jeder Bildpunkt (Pixel) des Bildschirms als Startwert z einer Zahlenfolge aufgefasst. Dabei ist z eine komplexe Zahl und repräsentiert einen Punkt der Ebene. Jeder Bildpunkt strebt zu einem der n Attraktoren.

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Newton-Fraktal (Isaac Newton) f(z) = z4 - 1 Download von newton4a.pas (Bild 1) newton4b.pas (Bild 2)

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Im Beispiel lauten die vier Attraktoren z(1) = i, z(2) = -1, z(3) = -i und z(4) = 1. Strebt ein Bildpunkt zu z(1), wird er gelb gefärbt, strebt er zu z(2) rot, zu z(3) blau und zu z(4) braun – unabhängig davon, nach wieviel Schritten (bei welcher Iterationstiefe) man den Attraktor ermittelt hat (Bild 1). Nimmt man hingegen die Färbung in Abhängigkeit von der Iterationstiefe vor, entsteht ein sogenanntes Geschwindigkeitsdiagramm des Fraktals (Bild 2).

Julia-Mengen

Spinne